ВНКСФ7: Буянов Игорь Юрьевич: Нелинейные плазменные колебания в полупроводниковой сверхрешетке

Нелинейные плазменные колебания в полупроводниковой сверхрешетке

Буянов Игорь Юрьевич
Волгоградский государственный педагогический университет

Научный руководитель: Крючков Сергей Викторович, Доктор физико-математических наук

В данной работе задача о колебаниях электронной плазмы в сверхрешетке (СР) сведена к решению интегро-дифференциального уравнения. С учетом периодичности электронного энергетического спектра по составляющей квазиимпульса вдоль оси СР уравнение, описывающее плазменные колебания, преобразовано в обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка относительно безразмерного электрического поля плазменного колебания. Данное уравнение не имеет точного аналитического решения, и анализировалось с применением численных методов. Приведено сравнение найденного численного решения с приближенным решением, полученным методом Крылова - Боголюбова в условиях малой диссипации. Анализ проводился с помощью математического пакета Maple V, а также путем прямой реализации метода Рунге-Кутта для систем обыкновенных дифференциальных уравнений на языке программирования Turbo Pascal 7.0.

В приближении слабостолкновительной плазмы, данная задача была решена аналитически. С учетом того, что спектр электрона в сверхрешетке описывается уравнением

(1)

и время действия излучения значительно превышает время релаксации электронов, т. е. , соответствующее уравнение для плазменных колебаний имеет вид

(2)

(пространственная зависимость векторного потенциала опускается, так как колебания полагаются однородными). Здесь . Полученное уравнение является интегро-дифференциальным относительно безразмерного векторного потенциала . Однако, оно может быть сведено к следующему нелинейному дифференциальному уравнению относительно безразмерного электрического поля плазменного колебания :

(3)

Такое преобразование возможно благодаря наличию периодической функции в подынтегральном выражении, обусловленной периодическим характером движения электрона в мини-зоне.

В общем случае поле однородных плазменных колебаний в полупроводнике со сверхрешеткой описывается следующим из (3) нелинейным уравнением третьего порядка

. (4)

Диссипация полагается малой, т. е. , и решение уравнения (4) ищется методом Крылова-Боголюбова

Здесь - так называемое "медленное" время.

Ограничиваясь нулевым по приближением уравнение (4) было сведено к виду

(5)

Его решение в терминах эллиптических функций Якоби:

, при

, при (6)

Здесь - начальная фаза плазменного колебания, - амплитуда эллиптической функции, - модуль эллиптической функции:

Под действием диссипации, величины , и (постоянные в нулевом приближении) будут медленно, то есть со временем , изменяться. В зависимости от знака константы приводятся следующие результаты.

Так, если , то при колебания близки к синусоидальным. При этом, с ростом времени частота колебаний, убывая, стремится к плазменной (в размерных переменных), и амплитуда их экспоненциально убывает. Начальная фаза остается неизменной.

Численный анализ уравнения (4) приводит к следующим результатам.

1) Экспоненциальный спад амплитуды справедлив лишь для . При больших значениях , амплитуда убывает не так быстро. Сказанное можно проиллюстрировать графиками :

Рис. 1. Зависимость и при .

Рис. 2. Фазовый портрет уравнения (4) при

2) Частота плазменных колебаний с ростом времени убывает (как и следует из аналитического приближения). Однако анализ графиков численных решений (рис.1) позволяет оценить изменение частоты при любой диссипации.

3) Анализ был проведен для всех исследованных аналитически частных случаев.