Приложение теории катастроф к описанию упругопластической деформации материалов. Учет влияния внешних факторов.

Представленная работа является продолжением статьи "Приложение теории катастроф к описанию упругопластической деформации материалов. Ч. 1. Изотропное тело" [1] данного сборника. Еще раз повторимся, что мы рассматриваем упругопластическую деформацию с позиций теории катастроф.

Интерес к этой теме возник в связи с существованием многочисленных экспериментальных данных, указывающих на не "типичное" поведение материалов в процессе пластического деформирования. Здесь под словом не "типичное" мы подразумеваем появление скачков на диаграммах нагружения.

Известно, что на появление и форму скачков оказывают влияние различные факторы, как внешние (температура, скорость деформации, размер образца и т.д.), так и внутренние (примеси, границы зерен и т.д.). Существует ограниченная область температур Т и скоростей деформаций , в которой наблюдаются скачки. Так, например, в [2] получено выражение, описывающее границы области существования скачкообразной деформации. Таким образом, скорость деформации и температура являются важными макроскопическими факторами, которые нельзя не учитывать при построении модели.

В работе [1] была рассмотрена простейшая модель, не учитывающая влияние Т и. Вследствие чего в области пластического деформирования было получено два устойчивых решения (возрастающее и убывающее). Но оба решения оказались равновероятными, и, поэтому, нельзя сказать определенно по какому пути будет развиваться деформация. Эти недостатки будут учтены в данной работе.

Записывая функцию состояния упругопластического материала в виде

где , мы подразумевали, что рассматриваем изотропный материал, то есть в этом случае переменная может входить в выражение Ф только в четных степенях. Однако теория катастроф утверждает, что какие бы физические факторы ни вступили в действие, выражение для Ф не может стать иным, кроме как

Согласно сказанному выше, выражение для функции состояния упругопластического тела запишем в виде:

Здесь в зависимости от знака множителя перед мы получаем две функции. В первом случае, когда скорость деформации больше нижнего критического значения , но меньше верхнего критического значения , и температура Т больше , но меньше (то есть удовлетворяется условие существования скачкообразной деформации), функция состояния имеет вид

Далее, в соответствии с методами теории катастроф, исследуем функции Ф на устойчивость. Экстремальными точками будут

Отметим здесь, что комплексные корни мы не учитываем. Легко проверить, что устойчиво области упругого деформирования и неустойчиво в пластической области. Что касается решения , то оно устойчиво в пластической и вырождается в в упругой области.

Выводы:

• в работе представлена макроскопическая модель упругопластического тела, которая описывает деформационную зависимость, характерную для эффекта Портевина - Ле Шателье.

Список литературы: