Исследование свойств квадратичных спинорных представлений группы вращений.

Исследование алгебраических свойств квадратичных спинорных представлений группы вращений имеет важное прикладное значение в современной теории физического пространства-времени-теории относительности в силу того, что спиноры представляют из себя волновые функции фермионов.

Двухкомпонентные спиноры открытые Эли Картаном в 1913 году являются универсальным теоретико-групповым обьектом для описания частиц спина 1/2 и классификации состояний элементарных частиц. Они имеют множество применений в соответствующих квантовомеханических задачах.

Для описания спиноров в рамках общей теории относительности используются смешанные объекты Инфельда-Ван-дер Вардена, которые в групповом аспекте представляют из себя сплетающий оператор. Этот оператор позволяет превращать четырехвекторы и тензоры в эрмитовы спинтензоры соответствующего ранга. Отображение Картана комплексных трехмерных векторов на квадратичное спинорное представление группы SO(3), связанное с группой SU(2), тоже имеющей фундаментальное значение для квантовой теории поля, не было описано средствами теории сплетающих операторов. Здесь построен обратимый сплетающий оператор, переплетающий векторное представление группы SO(3) с ее квадратичным спинорным представлением и установлены все основные правила соответствующей спинорной алгебры. Его компоненты представляют из себя тройки неэрмитовых симметричных матриц.

Доказано, что этот новый оператор удовлетворяет основным соотношениям спинорной алгебры , которые имеют важное значение для исследования условий существования нерелятивистких спиноров в пространстве-времени аффинной связности и имеют следующий вид:

Важно подчеркнуть, что соотношения (4) аналогичны известному основному соотношению спинорной алгебры Герберта Рузе для эрмитовых операторов Инфельда-Ван-дер-Вардена:

Видно, что исследованное здесь квадратичное спинорное представление группы вращений не унитарно, но является подгруппой группы комплексных унимодулярных матриц SL(2,c).