|
Фуллерено-подобные структуры как проекции многомерных регулярных решёток Гродненский государственный университет Научный руководитель: Лиопо Валерий Александрович, доктор физ.-мат. наук, профессор Открытые в последнее время вещества (квазикристаллы, фуллерены, нанотрубки и др.) обладают симметрией, которая не может быть описана кристаллографическими группами трёхмерного евклидова пространства [1]. Поэтому, приобрели актуальность исследования регулярных решёток в пространствах с размерностями больше трёх, и последующие отображения этих решёток в трёхмерное пространство. Пусть  , заданная с помощью матрицы Грама G. Группа точечной симметрии решётки  изоморфна мультипликативной группе  целочисленных матриц N, удовлетворяющих соотношению
Структура каждого элемента симметрии (ЭС) решётки
где
где перебор проводится по всем совокупностям различных натуральных чисел  наименьшее общее кратное которых равно m. Матрицу Грама регулярной решётки, имеющей ЭС с характеристическим многочленом (2), можно определить как
где Определим ортогональную проекцию n-мерной регулярной решётки
где  -матрица. Поскольку A - невырожденная, то среди столбцов матрицы  должны найтись n-k линейно независимых. Составим из них квадратную матрицу  , а из остальных столбцов - матрицу  , т.е. формально можно записать:
Выразим  - матрица-столбец, состоящая из произвольных целых чисел. Следовательно, ортогональная проекция n-мерной регулярной решётки вдоль любой её k-мерной плоскости  представляет собой (n-k)-мерную регулярную решётку, матрица Грама которой
Рассмотренная теория применена для построения ортогональных проекций многомерных решёток, имеющих ЭС 5-го, 8-го, 10-го и 12-го и др. порядков [4]. Эти проекции являются регулярными решётками, матрицы Грама которых определятся по формуле (7). Был выполнен анализ около Список публикаций: [1] Ле Ты Куок Тханг, Пиунихин С.А., Садов В.А., УМН., 48, № 1, 41-102 (1993).[2] Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука (1979). [3] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука (1988). [4] Сабуть А.В. Вестник ГрГУ, № 2, 23-39 (2000). [5] Abe Eiji and Tsai An Pang., Phys. Rev. Lett., 83, № 4, 753-756 (1999). |
(1)
, характеристический многочлен которой имеет вид
(2)
- многочлены деления круга [2]; 
- функция Эйлера. Порядок такого ЭС равен m - наименьшему общему кратному чисел 
. Наименьшая размерность 
евклидова пространства, в котором существуют ЭС m-го порядка, определяется по формуле
(3)
(4)
- квазидиагональная матрица, клетки 
которой являются сопровождающими матрицами [3] для множителей 
, входящих в формулу (2), 
. Тогда 
- единичная, и 
. Следовательно, 
на (n-k)-мерное подпространство вдоль k-мерной кристаллографической плоскости, порождённой k линейно независимыми векторами решётки 
(5)
- базис решётки. В пространстве 
введём декартову систему координат 
так, чтобы плоскостью проецирования совпадала с координатной плоскостью 
. Матрицу базисных векторов решётки 
где 
. (6)
. Векторы (5) будут проецироваться в начало координат, значит 
где 
, O - нулевая матрица. Это условие запишем несколько в развёрнутом виде 
где матрица 
разделена в соответствии с (6). Откуда находим, что 
Так как матрица F состоит из целых чисел, то элементы матрицы M будут рациональными. Обозначим наименьший общий знаменатель элементов i-ой строки матрицы M через 
. Тогда декартовы координаты проекций векторов решётки 
где 
. (7)
координационных полиэдров полученных проекций. Установлено, что некоторые из этих полиэдров имеют элементы симметрии граней порядков 5, 8, 9 и др. В связи с чем они были названы нами фуллерено-подобными структурами. Полученные полиэдры могут быть использованы в структурной физике твёрдого тела [5].| (c) АСФ России, 2001 |