Применение операционного исчисления к исследованию электрических цепей со сосредоточенными параметрами

Многие задачи математической физики сводятся к решению интегральных, дифференциальных или интегрально-дифференциальных уравнений. И в основном потом решаются численно.

Решение некоторых задач заметно упрощается с помощью интегральных преобразований. В данной работе для исследования колебательных процессов в электрических цепях использовано преобразование Лапласа, которое часто используется для исследования электрических процессов.

Такое преобразование позволяет многие интегрально-дифференциальные уравнения свести к алгебраическим уравнениям или системам, но уже не относительно исследуемой функции, а относительно ее отображения. Если из алгебраических уравнений определено изображение исследуемой величины, то возникает задача восстановления оригинала. Для этого существуют специальные теоремы разложения, использующие теорию вычетов в теории функции комплексной переменной. Иногда возможно получение обратного преобразования путем разложения отображения на простейшие дроби, позволяющие непосредственно воспользоваться таблицей простейших оригиналов.

В данной работе использовался именно этот подход.

Задачей моей работы было исследование зависимости параметров контура от времени в контуре включающего в себя омическое сопротивление R, катушку самоиндукции L, емкость C и э.д.с. E (были рассмотрены случаи постоянной и синусоидальной э.д.с.).

Применив закон Кирхгофа, было получено интегрально-дифференциальное уравнение относительно функции тока, вместо однократного дифференцирования и решения далее дифференциального уравнения второго порядка, было применено, выше описанное, преобразование Лапласа.

Используя полученное отображение функции тока, был восстановлен оригинал в элементарных функциях.

В случае постоянной э.д.с. была выведена функция тока от времени, и была проанализирована зависимость от различных параметров контура, однако при исследовании вынужденных колебаний в силу более сложного вида комплексных корней операторного импеданса цепи полный контур был заменен контуром без омического сопротивления R. Это позволило не только вывести зависимость тока от времени, что было сделано для полного контура, но и исследовать ее аналитически и рассмотреть интересный случай совпадения собственной частоты контура и частоты колебаний источника (случай резонанса).

В обоих случаях функции были исследованы графически.

Основными преимуществами выбранного мною метода являются, во-первых, относительная простота, т.е. замещение интегрально-дифференциального уравнения достаточно простым алгебраическим, во-вторых, возможность использовать в качестве неизвестной величины не только ток или напряжение, но также любой из параметров контура, как-то сопротивление или емкость.

В продолжение данной работы интерес представляет исследование связанных колебательных контуров и применение теории вычетов для обратных преобразований Лапласа.

Обобщая выше сказанное: