Научный руководитель: Клещев Александр Александрович, Кандидат технических наук

В данной работе вслед за [1], [2] изучаются фазовые скорости упругих волн в изотропном цилиндрическом стержне радиуса а. Обратимся к строгому решению задачи. Плотность материала стержня r , коэффициенты Ламе - l и m . Вектор смещения стержня подчиняется уравнению Ламе:

 (1)

По теореме Гельмгольца вектор смещения упругого стержня представляется в виде комбинации скалярной функции F и векторной функции :

(2)

 (3)

где: w - круговая частота гармонических колебаний, k =(w /с₂) - волновое число поперечной волны в материале стержня; с₂ - скорость поперечной волны; - радиус-вектор точки наблюдения.

Цилиндрические компоненты А_r, Аj , А_z функции , выраженные через потенциалы Дебая U и V, могут быть записаны в следующей форме:

 (4)

 (5)

 (6)

Потенциалы F , U, V разложим по собственным функциям скалярного уравнения Гельмгольца. Неизвестные коэффициенты этих разложений определяются из граничных условий на поверхности стержня: отсутствие нормального и касательных напряжений:

 (7)

(8)

 (9)

Подставляя разложения потенциалов F , U, V в граничные условия (7)ё (9), приходим к определителю 3-го порядка. Если радиус стержня а=1.0, то уравнение для волновых чисел k трехмерных изгибных волн принимает вид:

где: hў =(h²-k²)^?; k ў =(k ²-k²)^?; h - волновое число продольной волны в материале; J_m(hў ) - цилиндрическая функция Бесселя.

Характеристические уравнения для осесимметричных продольной и крутильной волн даны в [3]. На основе уравнения для крутильной волны в изотропном стержне были выполнены расчеты фазовых скоростей первых пяти мод для стального стержня с радиусом а=1.0. Результаты этих расчетов представлены на рисунке, при этом используются следующие обозначения: l _кр - длина крутильной волны, прямая 1 (нулевая мода) соответствует постоянной скорости, равной скорости поперечной волны с₂.

1. Клещёв А. А., Клюкин И. И. Об изгибных волнах в упругом круглом цилиндрическом стержне. //Сб. научн. тр. 1976. Вып. 109 - Л.: ЛКИ. С. 3-5.
2. Клюкин И. И, Клещёв А. А. Судовая Акустика. - Л.: Судостроение, 1982.
3. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. - М.: Иностранная литература, 1955.