Методы модельной дискретизации непрерывных физических процессов на основе теории клеточных автоматов

Применение теории клеточных автоматов для исследования сложных динамических систем, в которых важную роль играют диссипативные процессы, является новым направлением их исследования. Клеточные автоматы позволяют описывать сложные механизмы процесса, которые другими методами описаны быть не могут. Иначе говоря, клеточные автоматы — это методика представления задачи, которая ставит своей целью разбиение большой задачи на множество дискретных, мелких задач таким образом, что формулировка задачи для одного элемента одновременно является формулировкой всей задачи для всех элементов.

Следует отметить, что такие свойства, как локальность правил, дискретность переменных вызывает порой непредсказуемое поведение (не хаотическое!) динамической системы.

Для иллюстрирования методов теории клеточных автоматов были разработаны несколько моделей. Эти модели описывают турбулентное и диффузионное движение жидкости и газа, а также конвективные явления в жидкости с учётом теплообмена.

Наряду с вышеописанной была разработана модель конвекции с учётом теплообмена. Данная модель сводится к следующему: имеется некоторое плоское прямоугольное пространство. Две границы этого пространства являются адиабатическими, две другие находятся в контакте с тепловыми резервуарами. Пространство разбито на ячейки или узлы. Каждый узел обладает следующими свойствами: температура, плотность, координаты. Узлы могут взаимодействовать друг с другом по правилам, описанным ниже.

Разработанная модель состоит из двух частей: первая часть отвечает за теплообмен, вторая — за перемещение вещества. Моделирование теплообмена сводится к рассмотрению каждого узла пространства и для него производится следующая операция: по температуре данного узла и температурам ближайших его соседей (их обычно 4) вычисляется средняя температура, затем эта температура присваивается данному узлу.

Модель перемещения вещества сводилась к следующему: случайным образом выбирался узел сетки и считается разность плотности между данным узлом и каждым из соседних узлов (рис. 2). Случайный выбор узла обусловлен тем, что при последовательном переборе узлов и определении их поведения возникали коллизии, связанные с неравнозначностью отдельных узлов. Это приводило к анизотропии модели.

Плотность высчитывается по формуле:

которая является прямым следствием из уравнения Клапейрона-Менделеева для идеального газа. После того как просчитана разность давлений, производятся следующие действия: разность давлений между 0-ым и 1-ым узлом умножается на коэффициент , а разность давлений между 0-ым и 2-ым и 0-ым и 4-ым узлом умножается на коэффициент , причем . Умножение разностей давлений на коэффициенты обусловлено тем, что наличие силы тяжести ставит в неравные условия узлы, находящиеся в различных положениях относительно данной 0-ой ячейки. Таким образом, мы подошли к моменту, когда, собственно, и будет происходить перемещение вещества, которое сводится к обмену местами между 0-ой ячейкой и ячейкой, у которой разность плотности с 0-ой максимальна с учётом умножения на коэффициенты.