|
Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи Саратовский государственный университет Научный руководитель: Рыскин Никита Михайлович, к.ф.-м.н. В последнее время значительный интерес привлекает исследование детерминированного хаоса в распределенных системах [1,2]. В отличие от систем с конечным (точнее, с малым) числом степеней свободы, успехи в этой области не столь велики. Поэтому важно исследовать достаточно простые модельные системы, которые, однако, остаются распределенными. В частности, интерес представляет задача о переходе к хаосу в нелинейном резонаторе, образованном отрезком нелинейной среды с отражением на границе при внешнем гармоническом воздействии. Поскольку нелинейный осциллятор под внешним воздействием давно является одной из эталонных моделей нелинейной динамики систем с конечным числом степеней свободы [2,3], можно ожидать, что рассматриваемая задача будет играть такую же роль для распределенных систем.В качестве нелинейной среды была выбрана радиотехническая цепочка, составленная из индуктивностей и нелинейных емкостей с квадратичной зависимостью заряда от приложенного напряжения. С помощью подобных систем можно осуществить моделирование процессов в средах с различными типами нелинейности, дисперсии, диссипации [2-5]. Кроме того, они легко допускают экспериментальную реализацию.С одного конца цепочка возбуждалась гармоническим сигналом постоянной амплитуды, а с другого была нагружена на активное сопротивление. В данной работе рассмотрен случай, соответствующий линии, согласованной в области низких частот. Анализ линейных колебаний показал, что число собственных мод равно числу звеньев цепочки, т.е. анализируемая система имеет конечное, хотя и достаточно большое, число степеней свободы. Нелинейная динамика цепочки при различных значениях амплитуды и частоты входного сигнала исследовалась путем численного моделирования. Число звеньев цепочки выбиралось достаточно большим ( N=32-64). Для удобства численного моделирования предполагалось, что нелинейность является достаточно слабой.По мере распространения вдоль цепочки наблюдается укручение фронта возмущения и его трансформация в последовательность солитоноподобных уединенных волн. При достаточно сильной нелинейности образующиеся уединенные волны имеют большую амплитуду и малую ширину, так что они могут быть локализованы в пределах всего лишь нескольких ячеек. Число солитонов, на которые распадается первоначальное возмущение, зависит от частоты входного сигнала и уменьшается с ее ростом. Численное моделирование показывает, что при достаточно небольших значениях амплитуды входного сигнала переходный процесс завершается установлением режима стационарных периодических колебаний. Спектр колебаний содержит частоту внешнего воздействия и большое количество высших гармонических составляющих. Если значение частоты входного сигнала достаточно невелико, при увеличении амплитуды входного сигнала выше некоторого критического значения колебания становятся хаотическими, причем этот переход происходит жестко. В фазовом пространстве существует сложный предельный цикл с большим числом петель, каждая из которых соответствует одной из уединенных волн. После перехода к хаосу происходит постепенное расплывание дискретных пиков в спектре С ростом частоты w число образующихся солитонов уменьшается. По мере увеличения амплитуды периодические колебания сменяются квазипериодическими и в спектре появляются пары сателлитов, расположенных вблизи основной частоты и ее гармоник. Однако переход к хаосу по-прежнему происходит жестко. При достаточно больших w можно наблюдать переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. Наконец, на частотах, близких к частоте отсечки линейной цепочки, переход к хаосу вообще не наблюдается, хотя имеются небольшие области квазипериодики. Полученные результаты объясняются следующим образом. При малых w в полосу пропускания цепочки укладывается большое число гармоник частоты сигнала. Некоторые из них попадают в резонанс с высшими собственными модами. Поэтому переход к хаосу вызван жестким возбуждением большого числа мод. При высоких частотах механизмом перехода к хаосу является модуляционная неустойчивость, приводящая к возбуждению сателлитов. Соответственно, переход к хаосу происходит через разрушение квазипериодических колебаний. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 99-02-16016) и ФЦП “Интеграция” (проект А0057 /2000).Литература [1] . Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1998.[2 ] Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.[3] Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.[4]. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. Радио, 1977.[5]. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, М.: Наука, 2000. |
| (c) АСФ России, 2001 |