ВНКСФ7: Болычев Станислав Александрович: Полупространственные моменты в граничных задачах кинетической теории газов

Полупространственные моменты в граничных задачах кинетической теории газов

Болычев Станислав Александрович
Самарский государственный университет

Научный руководитель: Курочкин Виктор Иванович, д.ф.-м.н., проф.

При течении газов и газовых смесей вблизи поверхности, а также в задачах теплообмена и испарения-конденсации, функция распределения частиц по скоростям вблизи поверхности (в так называемом слое Кнудсена) является, как правило, разрывной в пространстве скоростей. Для газа вблизи стенки роль числа Кнудсена играет отношение средней длины свободного пробега к расстоянию до стенки. При исследовании слоя толщиной в несколько длин свободного пробега число Кнудсена нельзя считать малым и предположения, лежащие в основе метода Чепмена-Энскога, перестают быть справедливыми. В ряде интересных случаев, в частности при рассмотрении медленных течений, функция распределения газовых молекул может слабо отличаться от максвелловской, и возможна линеаризация уравнения Больцмана. При решении линеаризованного стационарного кинетического уравнения в таких случаях функцию распределения представляют в виде ряда

, (1)

где — максвелловская функция, коэффициенты , соответствующие отраженным и падающим молекулам, являются функциями координаты (расстояния от поверхности), и - полиномы от соответствующих компонент скорости (например – полиномы Эрмита), а - функция Хэвисайда. Коэффициенты находятся из соответствующих уравнений переноса. Основной сложностью при выводе уравнений переноса является вычисление интегралов от линеаризованного интеграла столкновений в форме Больцмана или интегральных скобок вида

, (2)

где и могут содержать ступенчатую функцию .

В настоящее время рассчитаны только несколько простых интегральных скобок, содержащих для модели жестких сферических молекул. Ряд интегральных скобок для модели твердых сфер был вычислен аналитически. В данной работе рассчитаны все основные интегральные скобки, содержащие ступенчатую функцию для моделей взаимодействия частиц – твердых сфер и точечных центров отталкивания.

Полученные скобки позволяют уточнить решение ряда задач с использованием точного выражения для интеграла столкновений. Были рассмотрены следующие задачи:

1. Задача Крамерса — задача о течении со скольжением, представляет собой течение Куэтта с одной стенкой расположенной на бесконечности, при отсутствии теплового потока. Вдали от поверхности стенки величина градиента массовой скорости потока газа считается постоянной и заданной. В качестве граничного условия на стенке принимается зеркально-диффузное отражение. На бесконечности функция распределения принимает вид распределения Чепмена-Энскога. Искомыми являются коэффициент изотермического скольжения , где –фиктивная скорость газа на стенке, а также профиль скорости в слое Кнудсена.

2. Задача о тепловом скольжении — задача о движении газа, находящегося в поле тангенциального к стенке градиента температуры. Значение градиента температуры считается постоянным и заданным. В качестве граничного условия на стенке принимается зеркально-диффузное отражение. На бесконечности функция распределения принимает вид распределения Чепмена-Энскога. Искомыми являются коэффициент теплового скольжения , где –скорость газа вдали от стенки, а также профиль скорости в слое Кнудсена.

3. Задача о температурном скачке. На стенке принимается граничное условие диффузного отражения с коэффициентом аккомодации энергии. Вдали от поверхности стенки величина градиента температуры считается постоянной и заданной. На бесконечности функция распределения принимает вид распределения Чепмена-Энскога. Искомыми являются коэффициент температурного скачка , где – фиктивная температура газа на стенке, – температура стенки, а также профиль температуры в слое Кнудсена.

4. Задача о слабом испарении. В задаче рассматриваются особенности слоя Кнудсена при испарении поверхности со слабой интенсивностью. Скорость истечения на внешней границе слоя Кнудсена считается постоянной и заданной. В качестве граничного условия на стенке принимается, что молекулы отражаются диффузно с температурой стенки. На внешней границе слоя функция распределения приобретает равновесный максвелловский вид. Искомыми являются профили концентрации и температуры в слое Кнудсена.

Вышеприведенные задачи решались методом полупространственных моментов: функция распределения разлагалась по ортогональным полиномам скорости с коэффициентами зависящими от пространственных координат (1). Коэффициенты разложения находятся из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, полученной из кинетического уравнения.

Получены значения коэффициентов скольжения, коэффициента температурного скачка для потенциала твердых сфер и для степенного потенциала. Приведено сравнение результатов с другими работами, а для задачи Крамерса и с экспериментальными данными.