Научный руководитель: Рыскин Никита Михайлович, к.ф.-м.н.

Распределенные автоколебательные системы (РАС) с запаздывающей обратной связью (ЗОС) играют важную роль во многих областях физики [1-3]. С теоретической точки зрения их изучение помогает лучше понять особенности нелинейной динамики систем с большим числом степеней свободы. Практическая важность исследования подобных систем связана с тем, что автогенераторы с ЗОС составляют обширный класс приборов вакуумной и плазменной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники и представляют интерес для создания источников шумоподобных сигналов с управляемыми характеристиками.

 (1)

Здесь комплексная переменная A имеет смысл медленно меняющейся амплитуды колебаний, a и g - параметры, характеризующие неравновесность и диссипацию, q - набег фазы в цепи обратной связи. Уравнение (1) приближенно описывает, например, динамику триодного генератора Ван-дер-Поля с линией задержки в анодной цепи, в случае, когда анодно-сеточная характеристика лампы аппроксимируется кубическим полиномом. Уравнение, описывающее автогенератор клистронного типа с ЗОС [4,5], в случае слабой нелинейности также приводится к виду (1).

Было проведено аналитическое исследование условий самовозбуждения, которое показало, что исследуемая система имеет бесконечное число собственных мод, что объясняется ее распределенным характером. Оптимальными для самовозбуждения являются значения q=2pm. Наоборот, при q=2pm+p, когда частоты двух соседних мод равноудалены от центра полосы усиления, самовозбуждение затрудняется. Таким образом, граница самовозбуждения на плоскости a,q имеет периодический по q вид. Существуют области (2m-1)p<q<(2m+1)p, которые будем называть зонами генерации. В центрах зон генерации параметр a принимает минимальное значение, а на краях - максимальное. Также были аналитически найдены выражения для режимов стационарной одночастотной генерации и определены условия возникновения автомодуляции, т.е. потери устойчивости стационарного режима.

Численный анализ динамики системы, описываемой укороченным уравнением Ван-дер-Поля с запаздыванием (1), проводился с использованием метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Исследование проводилось при малых значениях параметра затухания g , а именно g<1, так как в этой области автомодуляционные колебания являются квазигармоническими. В случае больших g колебания носят релаксационный характер.

При всех значениях параметра q сначала возбуждается основная мода, причем результаты численного моделирования полностью согласуются с теоретическими. По мере увеличения параметра a сначала устанавливается режим стационарных одночастотных колебаний. Затем он теряет устойчивость по отношению к первой автомодуляционной моде. Отметим, что высшие собственные моды всегда подавляются основной, что объясняется нелинейным эффектом конкуренции мод.

С увеличением бифуркационного параметра a (при постоянстве g ) наблюдается искажение предельного цикла, соответствующего периодической автомодуляции. Это обусловлено тем, что он увеличивается в размерах и приближается к седловому состоянию равновесия, расположенному в начале координат. При дальнейшем увеличении a происходит все большее усложнение геометрии предельного цикла: на нем образуются петли, появление которых связано с тем, что фазовая траектория накручивается на неустойчивое многообразие седла. Этим также обусловлено уменьшение частоты автомодуляции. Усложняется и временная реализация выходного сигнала: в течение одного периода колебаний наблюдается несколько локальных максимумов.

Динамика системы после возникновения автомодуляции существенно зависит от значения параметра q . При q ? 0.95p увеличение a приводит к серии бифуркаций удвоения периода с последующим переходом к хаосу. Качественно иное поведение наблюдается в области значений q > p . Здесь в зависимости от начальных условий могут возбуждаться колебания на одной из двух соседних мод, т.е. имеет место мультистабильность. По мере увеличения a периодическая автомодуляция сменяется квазипериодической с последующим переходом к хаосу. В области хаотических движений существуют окна периодических движений, причем предельные циклы, соответствующие этим окнам переходят к хаосу уже не через разрушение квазипериодических движений, а через последовательность бифуркаций удвоения периода.