ТЕРМОДИНАМИКА БОЗОНОВ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С КЛАССИЧЕСКИМ ИСТОЧНИКОМ

Аринштейн Карина Эдуардовна

Научный руководитель: Вершинин Владимир Евгеньевич, старший преподаватель кафедры теор. физики ТюмГУ

Тюменский Государственный Университет, г.Тюмень, Россия

Рассматривается упрощенная модель системы фононов и электронов, на которой можно легко показать механизм возникновения эффективного притяжения между электронами, приводящего к образованию куперовских пар и, как следствие, возникновению сверхпроводимости.

Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид: , (1)

где - оператор энергии электронов, - оператор энергии фононов,- оператор электрон-фононного взаимодействия модели Фрелиха. Упрощение модели состоит в том, что токи рассматриваются в квазиклассическом приближении, т. е. не являются операторами и коммутируют с оператором и с операторами поглощения и рождения фононов, имеющих импульс k.

В выражении для статистической суммы этой системы шпур берется по двум группам переменных - электронов и фононов. Тогда с учетом квазиклассичности токов выражение для нее можно записать в виде:

= =

= (2)

Преобразование , (3)

не меняет коммутационных соотношений между фононными операторами, откуда следует диагональность оператора . Тогда

, (4)

и шпур по фононным переменным сводится к выражению , (5)

а выражение для всей статсуммы - к виду

Z =. (6)

Первый сомножитель представляет собой статсумму идеального фононного газа с тем же самым набором частот. Показатель экспоненты, входящей в выражение под знаком шпура, можно трактовать как сумму свободного электронного гамильтониана и гамильтониана эффективного взаимодействия между электронами, который дается выражением . Знак “минус” перед суммой соответствует взаимному притяжению электронов, приводящему к образованию куперовских пар, которое, в свою очередь, приводит к возникновению сверхпроводимости.

Матрица плотности в квазиклассическом приближение будет иметь вид

, (7)

где действие унитарного оператора U на фононные операторы дает результат: Ub+U-1=b+- J*; Ub+U-1=b- J. (8)

(Для сравнения: в старом базисе матрица плотности имела вид

. (9))

Замена Jk и Jk* операторами, т. е. переход к квантово-механическому описанию, не должна привести к качественному изменению результата.

В квантово-механическом случае токи будут иметь операторный вид:

; , (10)

где аk и ak+ - электронные операторы. Для справедливости использованного приема необходимо наложить требование коммутативности преобразованных бозе-операторов, откуда вытекает требование коммутативности токов Jk и Jk+, что может иметь место при специальных свойствах коэффициентов g и g* .

Преобразование электронных операторов - преобразование Боголюбова - осуществляется действием другого унитарного оператора. Явный вид этого унитарного оператора может быть указан. Очевидно, что оно также не меняет свойств коммутации для фермионных операторов.

Энергия основного состояния системы с электрон-фононным взаимодействием ищется путем минимизации выражения, которое находится усреднением гамильтониана H по состоянию , представляющему собой результат действия найденного унитарного оператора на невозбужденное состояние системы (без взаимодействия). При этом состояние системы будет произведением когерентного состояния подсистемы фононов и состояния подсистемы электронов с эффективным парным притяжением, т.е. сверхпроводящего состояния.

e-mail: asf@asf.e-burg.ru