КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПАУЛИ

Гриценко Леся Владимировна, Сусак Иван Петрович

Научный руководитель: Трифонов А.Ю., д.ф.-м.н., проф., ТПУ

Томский государственный университет, г.Томск, Россия

Аннотация

Методом ВКБ построены асимптотические решения в виде уединённой волны нелинейного уравнения Паули с учётом внешнего поля на конечном промежутке времени.

Данная работа посвящена одному из основных направлений в области математической и теоретической физики - применению асимптотических методов в теории сосредоточенных нелинейных волн. Сосредоточенность волновых решений нелинейных задач означает, что они отличны от констант лишь в малых окрестностях некоторых лагранжевых подмногообразий. На базе изучения ряда невозмущённых уравнений формируются асимптотические анзатцы, позволяющие решать задачи для волновых уравнений, для уравнений, относящихся к неоднородным средам, а также для описания взаимодействия сосредоточенных волн. Заметное место среди асимптотических подходов занимает вариационный метод Уизема. Общеизвестно, что применение асимптотических методов позволяет получить явные формулы для описания различных характеристических сосредоточенных нелинейных волн в конкретных физических задачах. С этой целью исследовано много частных случаев, таких как распространение нелинейных волновых пучков в неоднородных средах и распространение длинных поверхностных гравитационных волн над жидкостью переменной глубины.

В работе рассмотрена задача построения квазиклассических решений нелинейного уравнения Паули с дисперсионной добавкой. Оператор Паули без учёта дисперсионной добавки кроме обычного оператора сдвига вдоль динамической системы содержит слагаемое, характеризующее изменение спиновой поляризации вдоль траектории. Таким образом, спин в классической механике существует, но не сказывается на классической траектории (Хёрмандер Л., Маслов В. П., Littlejohn R., Robbins G.L., Magneron B.). Однако при наличии спина необходимо изучать спектральные свойства не оператора сдвига вдоль траектории, а оператора Паули, поскольку собственные функции и собственные значения оператора отвечают задаче о классической частице, обладающей спином.

Далее изложены основные аспекты построения квазиклассических решений. Недавно были построены квазиклассические решения обобщённого нелинейного уравнения Шрёдингера* и Клейна - Гордона* * . Для рассматриваемого уравнения квазиклассические состояния строятся по той же схеме. Затем проводится расчёт с учётом дисперсионной добавки .

Рассмотрим нелинейное уравнение типа Паули

{}= 0 , (1)

, (2)

, , (3)

- дифференциальный оператор второго порядка. Решения уравнения (1) будем искать в виде

, (4)

где

,

Предполагается, что

.

Функции - вещественные.

В этих предположениях о виде решения уравнения (1) при подстановке (4) в (1) следует учитывать, что

где .

Построенные полуклассически сосредоточенные решения для нелинейного уравнения Паули с учётом вида поля рассматривают как многомерные уединённые волны (УВ). Центр масс такого решения двигается вдоль бихарактеристик главного символа Гамильтона, соответствующего линейному уравнению Паули. Когда коэффициент нелинейности постоянен, центр тяжести УВ подобен центру тяжести частицы.

Стоит отметить, что полученные асимптотические решения в виде УВ для данного уравнения построены на конечном интервале времени, на более длительном необходимо проводить дополнительное исследование. Решения УВ в этом случае рассматриваются подобными квантовым волновым пакетам, что позволяет исследовать частице - подобные свойства УВ в терминах теоремы Эрмита.


e-mail: asf@asf.e-burg.ru