ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ГОЙНА В СЛУЧАЕ СБЛИЖЕНИЯ ДВУХ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Морозов Андрей Евгеньевич

Научный руководитель: Славянов Сергей Юрьевич, доктор физ-мат. наук, профессор, НИИФ СПбГУ

Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург, Россия

Цель работы – найти первую поправку для собственного числа в частном случае уравнения Гойна когда одна из особых точек приближается к другой особой точке. Решение данной задачи имеет применение при рассмотрении плстических деформаций кристаллов.

Рассмотрим уравнение Гойна – уравнение Фукса с четырьмя особыми точками в канонической форме

(1)

где

и

между параметрами a, b, c, d, e существует зависимость, выражающаяся следующим образом

Положим, что параметр s мал и положителен, т.е. s << 1.

Будем изучать локальное поведение решения уравнения (1) около особых точек.

В работе С.Ю.Славянова и В.Лая было показано, что окончательный результат выглядит следующим образом

однако там не был получен поправочный член пропорциональный s.Для получения этого члена можно воспользоваться теорией теорией возмущений.

Представим дифференициальный оператор в виде

где

- невозмущённый оператор,

- возмущение.

Ищем решение уравнения в случае невозмущённого оператора

.

Теперь через решения этого уравнения можно выразить собственные функции оператора , а именно

.

Затем для коэффицентов выводится дифференициальное уравнение. Далее можно построить трехдиагональную рекурентную систему, с помощью которой и находим первую поправку по s для собственного числа.

e-mail: asf@asf.e-burg.ru