МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Головенко Евгений Анатольевич
Научный руководитель: Тимофеев В. Н., д.т. н., зав. кафедры
Красноярский государственный технический университет, г. Красноярск, Россия
Создание новых и совершенствание известных электротехнических и радиотехнических устройств требует глубокого знания физических явлений в исследуемых электромагнитных системах. Поэтому, возникает необходимость расчёта локального распределения электромагнитного поля в расчётной области с учётом сложной геометрии и нелинейных физических свойств, используемых в этих системах материалов. Источником получения достоверной информации о параметрах такого оборудования является экспериментальное исследование на натуральных образцах и физических моделях. Однако, такие исследования являются трудоёмкими и требуют больших материальных затрат. Но с появлением достаточно мощных вычислительных средств и программного обеспечения исследователи всё чаще обращаются к методам математического моделирования интересующих их процессов.
Математическую модель можно получить как аналитическими, так и численными методами. Аналитические методы расчёта поля применимы для решения задач в областях простой геометрии с постоянными электрофизическими свойствами. Реальные же устройства в большинстве случаев имеют сложную конфигурацию и
состоят из материалов с неоднородными характеристиками, поэтому для решения практических задач в последнее время всё большее применение находят численные методы.При всём многообразии методологических подходов, все численные методы основаны на дискретизации расчётной области. Другими словами, за счёт соответствующих аппроксимаций уравнений и граничных условий дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических уравнений. Разнообразие практических задач приводит к тому, что применение единого численного метода для их решения невозможно. Каждый из известных численных методов расчёта целесообразно использовать для решения определённого круга задач. Поэтому, основной целью исследователя является, прежде всего, выбор рационального методологического
подхода к решению задачи.При математическом анализе электромагнитного поля необходимо решать уравнения Максвелла совместно с материальными уравнениями при заданных начальных и граничных условиях. Для этих целей наиболее часто используются методы конечных разностей и конечных элементов, в которых дискретизации подвергается искомая расчётная функция при этом свойства сред остаются неизменными.
В основе решения уравнений в частных производных методом конечных разностей лежит конечно-разностная аппроксимация производных, т.е. дифференциальные уравнения, граничные и краевые условия заменяются разностными операторами. В методе конечных элементов расчётная область разбивается на элементы, а искомая величина аппроксимируется для каждого элемента полиномом, который
определяется с помощью узловых значений этой величины. Таким образом, в обоих случаях решение сводится к определению значения искомой функции в дискретных точках расчётной области - узлах сетки или элемента.Для обоих методов реализация граничных условий связана с определёнными трудностями, поскольку приходится модифицировать используемые сетки, включая в них дополнительные узлы на границе раздела сред, затем, в первом случае, дописывать для каждого узла конечно-разностные операторы, а в другом, использовать различные криволинейные элементы. Кроме того, оба метода плохо приспособлены для расчёта сред с неоднородным или анизотропным распределением параметров. Определённые трудности при реализации указанных методов возникают при анализе электромагнитного поля
в движущихся средах.В работе рассматривается метод дискретизации свойств сред, который позволяет избежать перечисленные трудности. Суть метода состоит в том, что расчётная область заменяется бесконечно тонкими поверхностями, в приделах каждой из которых свойства среды не изменяются. Задача расчёта сводится к решению уравнения Лапласа в областях, ограниченных бесконечно тонкими поверхностями. Электромагнитные свойства сред и источниками электромагнитного поля учитываются в граничных условиях, записанных для этих поверхностей. Полученный при этом алгоритм расчёта поля сочетает в себе решение самих дифференциальных уравнений, а также задание граничных условий и источников электромагнитного поля.
На примере решения задачи проникновения электромагнитной волны в плоскую ферромагнитную поверхность методами конечных разностей, конечных элементов и предложенным методом дискретизации свойств сред, показаны особенности реализации этих методов и произведено их сравнение.
Литература
e-mail: asf@asf.e-burg.ru