МОРФОАНАЛИЗ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СТРУКТУР С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УОЛШ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИНФОРМАЦИОННО-ГРАФОВОВЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Институт промышленной экологии УрО РАН, г.Екатеринбург, Россия

?ри изучении кристаллизации с помощью физического и компьютерного эксперимента возникает задача количественного анализа двумерных изображений получающихся структур. Существующие в литературе методы представляются недостаточными для такого описания, так как часто основаны на качественном визуальном анализе. При сравнении набора полученных в экспериментах структур, возникает вопрос о закономерностях структурных изменений при варьировании управляющего параметра. Оказывается, важно количественно оценить происходит хаотизация либо упорядочение структуры. Решение этой задачи реализовано с помощью двух подходов.

В первом предлагается использовать теорию графов и информации, так как они хорошо себя зарекомендовали в химии при описании и классификации разветвленных органических молекул [1]. Для этого будем рассматривать кристаллическую структуру как “большую разветвленную молекулу”. Приписывая структуре определенный граф (структуру из ребер и вершин), можно определить топологический индекс (число, связанное со свойствами структуры). Этот подход был применен для анализа двумерных черно-белых изображений, не обладающих явно выраженной симметрией, либо имеющих ось симметрии четвертого порядка. Исходное изображение для преобразования в граф разбивается на клетки, размер которых зависит от необходимой степени подробности описания. В качестве клетки выбирали квадрат белого или черного цвета в зависимости от закрашенной площади клетки. Пусть каждая черная клетка - вершина графа, и между двумя соседними черными клетками предполагается одинарная связь - ребро графа. Предложенная схема задает четыре различных типа вершин или четыре класса эквивалентности (две вершины принадлежат к одному классу эквивалентности, если они имеют одинаковое число ближайших соседей и одинаковое число связей с этими соседями [1]): вершины с четырьмя, тремя, двумя и одним ближайшим соседом. Тогда с помощью формулы Шеннона [1] определяется топологический индекс - информационное содержание IC=- S p_ilog₂p_i (здесь p_i - доля вершин i-го класса эквивалентности), которое рассматривается в литературе как количественная мера структурной неоднородности графа. Через информационное содержание вводят еще один топологический индекс, называемый полное информационное содержание TIC=n? IC (n - полное число вершин графа).

В данной работе для ряда морфоструктур, полученных при компьютерном моделировании кинетического режима роста кристалла в фазово-расслаивающейся среде [2], были рассчитаны IC и TIC. Оказалось, что зависимости этих индексов от управляющего параметра - концентрации примеси имеют качественно подобный, куполообразный вид, проходящий через максимум.

Второй подход основан на использовании ортогональных преобразований, которые позволяют преобразовывать пространственное изображение в амплитудно-частотный спектр. В данной работе для решения сформулированной выше задачи впервые использовалось преобразование, основанное на функциях Уолша, образующих полную ортонормированную систему неаналитических, бинарных функций [3]. Уолш-анализ позволил выделить пять различных морфологических классов кристаллов [2] на основе характерных спектральных мод: скелетные кристаллы; пористые кристаллы с упорядоченным расположением примеси; пористые кристаллы с беспорядочным расположением примеси; гранные кристаллы со слоистым распределением примеси и гранные кристаллы со скоплением примеси в центральных участках граней. Каждый класс отличается характерными уолш-компонентами, отвечающими за присущие ему морфологические признаки. Приведенная здесь математическая классификация оказалась в полном согласии с результатами качественной классификации на основе морфопризнаков [2]. В отличие от Уолш-анализа результаты проведенного Фурье-анализа оказались непригодны для классификации и количественного описания структур.

Если соотнести полученные результаты графово-информационного анализа с результатами Уолш-анализа, можно отметить следующее. Максимумы зависимостей IC и TIC приходятся на третий класс структур по классификации Уолша (пористые кристаллы с беспорядочным расположением примеси), который включает наибольшее число характерных мод по сравнению с другими классами и, таким образом, является более всего структурно неоднородным. Минимальное значение информационное содержание принимает для гранного кристалла, не содержащего примесь. Это согласуется с Уолш-анализом: класс, в который входит эта структура (гранные кристаллы со скоплением примеси в центральных участках граней), описывается наименьшим числом пиков.

(1) Химические приложения топологии и теории графов: Пер. с англ./ Под ред. Р. Кинга. - М.: Мир, 1987 -560 с; (2) Мартюшев Л.М., Селезнев В.Д. //Письма в ЖТФ. 1999.Т.25.В.20.с.71; (3) Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1982. Кн.1. 312с.