ИССЛЕДОВАНИЕ И РАЗРАБОТКА РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ

Скосырский Алексей Юрьевич, Астанин Алексей Анатольевич

Научный руководитель: Ясельский Владимир Карпович, к.т.н., доцент, кафедра 24, ФТФ, ТПУ

Томский Политехнический университет, г.Томск, Россия

Одной из важнейших задач автоматизации физических экспериментов и анализа их результатов является восстановление функциональных зависимостей. Эта задача возникает при переводе сигналов, снимаемых с датчиков (детекторов), в их физический эквивалент в соответствии с градуировочными характеристиками используемых измерительных каналов, которые необходимо для этих целей описать аналитически и ввести в автоматизированную систему, а также при обработке результатов экспериментов, при представлении их в виде аналитических зависимостей.

Широко используемый для решения этих задач метод наименьших квадратов не всегда дает хорошие результаты. Стремление же повысить точность восстановления эмпирических зависимостей путем повышения порядка восстанавливающего полинома приводит к появлению неустойчивых решений, а следовательно к снижению достоверности результатов экспериментов. Причиной этому является вычислительные погрешности, погрешности полученных результатов экспериментов, погрешности в задании координат точек отсчета и другие факторы. В связи с этим были проведены путем постановки вычислительных экспериментов исследования влияния на точность восстановления эмпирических зависимостей и устойчивость полученных решений этих факторов. При этом анализировались степень приближения восстанавливаемых зависимостей к тем экспериментальным точкам, по которым они строились, и отдельно - к исходным экспериментальным зависимостям в целом. Последние задавались множеством точек, лежащих на них. Здесь рассмотрим некоторые из результатов этих исследований.

Анализ полученных результатов многочисленных вычислительных экспериментов прежде всего показывает, что появление погрешностей результатов измерений (отсчетов), а также погрешностей в задании координат точек отсчета исследуемых зависимостей равносильно увеличению порядка исходной подлежащей восстановлению зависимости. Данное возрастание порядка зависит от величины статистической связи между экспериментальными точками, от величины указанных погрешностей и от количества точек, по которым восстанавливается зависимость. При этом, точность приближения к точкам, по которым восстанавливается зависимость, и устойчивость решений значительно возрастают при снижении статистической связи между отсчетами и соответствии количества точек отсчета порядку восстанавливаемой зависимости с учетом указанных погрешностей. В свою очередь, анализ поведения среднеквадратичного отклонения восстанавливаемого полинома в целом от исходной зависимости, подлежащей восстановлению и заданной множеством точек, показывает, что наиболее целесообразно удвоение количества точек, по которым восстанавливается зависимость, по отношению к порядку исходной зависимости. Дальнейшее увеличение количества точек, используемых для восстановления зависимости, либо несущественно сказывается на конечном результате, либо может, наоборот, в значительной мере исказить его.

Так как при восстановлении экспериментальных данных полиномом того или иного вида зачастую отсутствует априорная информация об оптимальном его порядке и имеют место указанные выше погрешности проводимого эксперимента, поэтому нередко в стремлении более точно описать полученную экспериментальную зависимость значительно завышается порядок восстанавливающего полинома и возникают неустойчивые решения, приводящие к большим погрешностям. В связи с этим были проведены исследования возможных путей регуляризации решений. В частности было проанализировано влияние линейных координатных преобразований исходных экспериментальных зависимостей на устойчивость получаемых решений. Этот анализ показал, что смещение экспериментальных зависимостей y = f(x) по координате x в значительной степени влияет на обусловленность исходной матрицы и может обеспечить устойчивость решений и высокую точность вычислений при высоких порядках восстанавливающих полиномов. Хорошие результаты показало также использование для этих целей аппарата математического программирования. В данном случае решение рассматриваемой задачи сводится к построению исходной неопределенной системы уравнений, дающей множество возможных решений, и отыскания в этом множестве допустимого решения. Затем на основании полученного при этом результата производится нахождение оптимального решения, отвечающего поставленным требованиям, то есть решается оптимизационная задача [1].

Для организации данных исследований путем постановки вычислительных экспериментов было разработано программное обеспечение, в основу которого положена технология структурного программирования. Разработанное программное обеспечение имеет удобный пользовательский интерфейс, позволяет оперативно вводить на обработку экспериментальные данные, задаваемые в разных видах, выбирать вид восстанавливающей зависимости и её порядок, использовать тот или иной алгоритм решения исходной системы уравнения, а также проводить анализ окончательных и промежуточных результатов. Данный программный продукт может быть использован не только для проведения рассматриваемого вида исследований, но и одновременно может служить инструментом обработки результатов экспериментов и анализа эффективности этой обработки и её достоверности .

Литература:

  1. Зуховицкий С.И., Авдеева А.И. Линейное и выпуклое программирование.-М.:Из-во “Наука”, 1967.

e-mail: asf@asf.e-burg.ru